Определение корня н степени. Корень и его свойства

Нужно познакомиться со свойствами этой операции, что мы и сделаем в настоящем параграфе.

Все свойства формулируются и доказываются только для неотрицательных значений переменных, содержащихся под знаками корней.

Доказательство. Введем следующие обозначения: Нам надо доказать, что для неотрицательных чисел х, у, z выполняется равенство х-уz.
Так как
Итак, Но если степени двух неотрицательных чисел равны и показатели степеней равны, то равны и основания степеней ; значит, из равенства x n =(уz) п следует, что х-уz, а это и требовалось доказать.

Приведем краткую запись доказательства теоремы.

Замечания:

1. Теорема 1 остается справедливой и для случая, когда подкоренное выражение представляет собой произведение более чем двух неотрицательных чисел.
2. Теорему 1 можно сформулировать, используя конструкцию "если...то» (как это принято для теорем в математике). Приведем соответствующую формулировку: если а иb - неотрицательные числа, то справедливо равенство Следующую теорему мы именно так и оформим.

Краткая (хотя и неточная) формулировка, которую удобнее использовать на практике: корень из дроби равен дроби от корней.

Доказательство. Приведем краткую запись доказательства теоремы 2, а вы попробуйте сделать соответствующие комментарии, аналогичные тем, что были приведены при доказательстве теоремы 1.

ВЫ, конечно, обратили внимание на то, что доказанные два свойства корней п-й степени представляют собой обобщение известных вам из курса алгебры 8-го класса свойств квадратных корней. И если бы других свойств корней п-й степени не было, то как бы все было просто (и не очень интересно). На самом деле есть еще несколько интересных и важных свойств, которые мы обсудим в этом параграфе. Но сначала рассмотрим несколько примеров на использование теорем 1 и 2.

Пример 1. Вычислить
Решение. Воспользовавшись первым свойством корней (теорема 1), получим:

Замечание 3. Можно, конечно, этот пример решить по-другому, особенно если у вас под рукой есть микрокалькулятор: перемножить числа 125, 64 и27,а затем извлечь кубический корень из полученного произведения. Но, согласитесь, предложенное решение «интеллигентнее».
Пример 2. Вычислить
Решение. Обратим смешанное число в неправильную дробь.
Имеем Воспользовавшись вторым свойством корней (теорема 2), получим:

Пример 3. Вычислить:
Решение. Любая формула в алгебре, как вам хорошо известно, используется не только «слева направо», но и «справа налево». Так, первое свойство корней означает, что можно представить в виде и, наоборот, можно заменить выражением . То же относится и ко второму свойству корней. Учитывая это, выполним вычисления:

Пример 4. Выполнить действия:
Решение , а) Имеем:
б) Теорема 1 позволяет нам перемножать только корни одинаковой степени, т.е. только корни с одинаковым показателем. Здесь же предлагается умножить корень 2-й степени из числа а на корень 3-й степени из того же числа. Как это делать, мы пока не знаем. Вернемся к этой проблеме позднее.
Продолжим изучение свойств радикалов.

Иными словами, чтобы возвести корень в натуральную степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное выражение.
Это - следствие теоремы 1. В самом деле, например, для к = 3 получаем: Точно так же можно рассуждать в случае любого другого натурального значения показателя к.

Иными словами, чтобы извлечь корень из корня, достаточно перемножить показатели корней.
Например,
Доказательство. Как и в теореме 2, приведем краткую запись доказательства, а вы попробуйте самостоятельно сделать соответствующие комментарии, аналогичные тем, что были приведены при доказательстве теоремы 1.

Замечание 4. Давайте переведем дух. Чему мы научились благодаря доказанным теоремам? Мы узнали, что над корнями можно осуществлять четыре операции: умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня (из корня). А как же обстоит дело со сложением и вычитанием корней? Никак. Об этом мы говорили еще в 8-м классе по поводу операции извлечения квадратного корня.

Например, вместо нельзя написать В самом деле, Но ведь очевидно, что Будьте внимательны!
Самое, пожалуй, интересное свойство корней - это то, о котором пойдет речь в следующей теореме. Учитывая особую значимость этого свойства, мы позволим себе нарушить определенный стиль формулировок и доказательств, выработанный в этом параграфе, с тем чтобы формулировка теоремы 5 была немного «мягче», а ее доказательство - понятнее.

Например:

(показатели корня и подкоренного выражения разделили на 4);

(показатели корня и подкоренного выражения разделили на 3);

(показатели корня и подкоренного выражения умножили на 2).

Доказательство. Обозначим левую часть доказываемого равенства буквой Тогда по определению корня должно выполняться равенство

Обозначим правую часть доказываемого тождества буквой у:

Тогда по определению корня должно выполняться равенство

Возведем обе части последнего равенства в одну и ту же степень р; получим:

Итак (см. равенства (1) и (2)),

Сопоставляя эти два равенства, приходим к выводу, что х nр = у nр, а значит, х =у, что и требовалось доказать.
Доказанная теорема позволит нам решить ту проблему, с которой мы столкнулись выше при решении примера 5, где требовалось выполнить умножение корней с разными показателями:

Вот как обычно рассуждают в подобных случаях.
1) По теореме 5 в выражении можно и показатель корня (т.е. число 2) и показатель подкоренного выражения (т.е. число 1) умножить на одно и то же натуральное число. Воспользовавшись этим, умножим оба показателя на 3; получим:
2) По теореме 5 в выражении можно и показатель корня (т.е. число 3) и показатель подкоренного выражения (т.е. число 1) умножить на одно и то же натуральное число. Воспользовавшись этим, умножим оба показателя на 2; получим:

3) Поскольку получили корни одной и той же 6-й степени, то можно их перемножить:

Замечание 5. Вы не забыли, что все свойства корней, которые мы обсуждали в этом параграфе, рассмотрены нами только для случая, когда переменные принимают лишь неотрицательные значения? Почему пришлось сделать такое ограничение? Потому, что корень п-й степени из отрицательного числа не всегда имеет смысл - он определен только для нечетных значений п. Для таких значений показателя корня рассмотренные свойства корней верны и в случае отрицательных подкоренных выражений.

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

Чтобы успешно использовать на практике операцию извлечения корня, нужно познакомиться со свойствами этой операции.
Все свойства формулируются и доказываются только для неотрицательных значений переменных, содержащихся под знаками корней.

Теорема 1. Корень n-й степени (n=2, 3, 4,...) из произведения двух неотрицательных чипсел равен произведению корней n-й степени из этих чисел:

Замечание:

1. Теорема 1 остается справедливой и для случая, когда подкоренное выражение представляет собой произведение более чем двух неотрицательных чисел.

Теорема 2. Если , и n - натуральное число, большее 1, то справедливо равенство

Краткая (хотя и неточная) формулировка, которую удобнее использовать на практике: корень из дроби равен дроби от корней.

Теорема 1 позволяет нам перемножать только корни одинаковой степени , т.е. только корни с одинаковым показателем.

Теорема 3.Если , k - натуральное число и n - натуральное число, большее 1, то справедливо равенство

Иными словами, чтобы возвести корень в натуральную степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное выражение.
Это - следствие теоремы 1. В самом деле, например, для к = 3 получаем: Точно так же можно рассуждать в случае любого другого натурального значения показателя к.

Теорема 4.Если , k, n - натуральные числа, большее 1, то справедливо равенство

Иными словами, чтобы извлечь корень из корня, достаточно перемножить показатели корней.
Например,

Будьте внимательны! Мы узнали, что над корнями можно осуществлять четыре операции: умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня (из корня). А как же обстоит дело со сложением и вычитанием корней? Никак.
Например, вместо нельзя написать В самом деле, Но ведь очевидно, что

Теорема 5.Если показатели корня и подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится, т.е.

Примеры решения заданий

Пример 1. Вычислить

Решение. Воспользовавшись первым свойством корней (теорема 1), получим:

Пример 2. Вычислить
Решение. Обратим смешанное число в неправильную дробь.
Имеем Воспользовавшись вторым свойством корней (теорема 2 ), получим:

Пример 3. Вычислить:

Решение. Любая формула в алгебре, как вам хорошо известно, используется не только «слева направо», но и «справа налево». Так, первое свойство корней означает, что можно представить в виде и, наоборот, можно заменить выражением . То же относится и ко второму свойству корней. Учитывая это, выполним вычисления.

Примеры:

\(\sqrt{16}=2\), так как \(2^4=16\)
\(\sqrt{-\frac{1}{125}}\) \(=\) \(-\frac{1}{5}\) ,так как \((-\frac{1}{5})^3\) \(=\) \(-\frac{1}{125}\)

Как вычислить корень n-ой степени?

Чтобы вычислить корень \(n\)-ой степени, надо задать себе вопрос: какое число в \(n\)-ой степени, даст под корнем?

Например . Вычислите корень \(n\)-ой степени: а)\(\sqrt{16}\); б) \(\sqrt{-64}\); в) \(\sqrt{0,00001}\); г)\(\sqrt{8000}\); д) \(\sqrt{\frac{1}{81}}\).

а) Какое число в \(4\)-ой степени, даст \(16\)? Очевидно, \(2\). Поэтому:

б) Какое число в \(3\)-ей степени, даст \(-64\)?

\(\sqrt{-64}=-4\)

в) Какое число в \(5\)-ой степени, даст \(0,00001\)?

\(\sqrt{0,00001}=0,1\)

г) Какое число в \(3\)-ей степени, даст \(8000\)?

\(\sqrt{8000}=20\)

д) Какое число в \(4\)-ой степени, даст \(\frac{1}{81}\)?

\(\sqrt{\frac{1}{81}}=\frac{1}{3}\)

Мы рассмотрели самые простые примеры с корнем \(n\)-ой степени. Для решения более сложных задач с корнями \(n\)-ой степени – жизненно необходимо знать их .

Пример. Вычислите:

\(\sqrt 3\cdot \sqrt{-3} \cdot \sqrt{27} \cdot \sqrt{9} -\) \(=\)		В данный момент ни один из корней нельзя вычислить. Поэтому применим свойства корня \(n\)-ой степени и преобразуем выражение. \(\frac{\sqrt{-64}}{\sqrt{2}}\) \(=\)\(\sqrt{\frac{-64}{2}}\) \(=\)\(\sqrt{-32}\) т.к. \(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\) \(=\)\(\sqrt[n]{\frac{a}{b}}\)
\(=\sqrt{3}\cdot \sqrt{-3}\cdot \sqrt{27}\cdot \sqrt{9}-\sqrt{-32}=\)		Переставим множители в первом слагаемом так, что бы квадратный корень и корень \(n\)-ой степени стояли рядом. Так легче будет применять свойства т.к. большинство свойств корней \(n\)-ой степени работают только с корнями одинаковой степени. И вычислим корень 5-ой степени.
\(=\sqrt{3} \cdot \sqrt{27} \cdot \sqrt{-3}\cdot \sqrt{9}-(-5)=\)		Применим свойство \(\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b}\) и раскроем скобку
\(=\sqrt{81}\cdot \sqrt{-27}+5=\)		Вычисли \(\sqrt{81}\) и \(\sqrt{-27}\)
\(=9\cdot(-3)+5 =-27+5=-22\)

Корень n-ой степени и квадратный корень связаны?

В любом случае, любой корень любой степени - это просто число, пусть и записанное в непривычном вам виде.

Особенность корня n-ой степени

Корень \(n\)-ой степени с нечетными \(n\) может извлекаться из любого числа, даже отрицательного (см. примеры в начале). Но если \(n\) - четное (\(\sqrt{a}\), \(\sqrt{a}\),\(\sqrt{a}\)…), то такой корень извлекается только если \(a ≥ 0\) (кстати, у квадратного корня так же). Это связано с тем, что извлечение корня – действие, обратное возведению в степень.

А возведение в четную степень делает даже отрицательное число положительным. Действительно, \((-2)^6=(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)=64\). Поэтому мы не можем получить под корнем четной степени отрицательного числа. А значит, и извлечь такой корень из отрицательного числа – не можем.

Нечетная же степень таких ограничений не имеет – отрицательное число, возведенное в нечетную степень останется отрицательным: \((-2)^5=(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)=-32\). Поэтому под корнем нечетной степени можно получить отрицательное число. А значит и извлечь его из отрицательного числа – тоже можно.

Данная статья представляет собой совокупность детальной информации, которая касается темы свойства корней. Рассматривая тему, мы начнем со свойств, изучим все формулировки и приведем доказательства. Для закрепления темы мы рассмотрим свойства n -ой степени.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Свойства корней

Мы поговорим о свойствах .

1. Свойство умноженных чисел a и b , которое представляется как равенство a · b = a · b . Его можно представить в виде множителей, положительных или равных нулю a 1 , a 2 , … , a k как a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k ;
2. из частного a: b =   a: b , a ≥ 0 , b > 0 , он также может записываться в таком виде a b = a b ;
3. Свойство из степени числа a с четным показателем a 2 · m = a m при любом числе a , например, свойство из квадрата числа a 2 = a .

В любом из представленных уравнений можно поменять части до и после знака тире местами, например, равенство a · b = a · b трансформируется как a · b = a · b . Свойства для равенства часто используются для упрощения сложных уравнений.

Доказательство первых свойств основано на определении квадратного корня и свойствах степеней с натуральным показателем. Чтобы обосновать третье свойство, необходимо обратиться к определению модуля числа.

Первым делом, необходимо доказать свойства квадратного корня a · b = a · b . Согласно определению, необходимо рассмотреть, что a · b - число, положительное или равное нулю, которое будет равно a · b при возведении в квадрат. Значение выражения a · b положительно или равно нулю как произведение неотрицательных чисел. Свойство степени умноженных чисел позволяет представить равенство в виде (a · b) 2 = a 2 · b 2 . По определению квадратного корня a 2 = a и b 2 = b , то a · b = a 2 · b 2 = a · b .

Аналогичным способом можно доказать, что из произведения k множителей a 1 , a 2 , … , a k будет равняться произведению квадратных корней из этих множителей. Действительно, a 1 · a 2 · … · a k 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · a k 2 = a 1 · a 2 · … · a k .

Из этого равенства следует, что a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k .

Рассмотрим несколько примеров для закрепления темы.

Пример 1

3 · 5 2 5 = 3 · 5 2 5 , 4 , 2 · 13 1 2 = 4 , 2 · 13 1 2 и 2 , 7 · 4 · 12 17 · 0 , 2 (1) = 2 , 7 · 4 · 12 17 · 0 , 2 (1) .

Необходимо доказать свойство арифметического квадратного корня из частного: a: b = a: b , a ≥ 0 , b > 0 . Свойство позволяет записать равенство a: b 2 = a 2: b 2 , а a 2: b 2 = a: b , при этом a: b является положительным числом или равно нулю. Данное выражение и станет доказательством.

Например, 0: 16 = 0: 16 , 80: 5 = 80: 5 и 3 0 , 121 = 3 0 , 121 .

Рассмотрим свойство квадратного корня из квадрата числа. Его можно записать в виде равенствакак a 2 = a Чтобы доказать данное свойство, необходимо подробно рассмотреть несколько равенств при a ≥ 0 и при a < 0 .

Очевидно, что при a ≥ 0 справедливо равенство a 2 = a . При a < 0 будет верно равенство a 2 = - a . На самом деле, в этом случае − a > 0 и (− a) 2 = a 2 . Можно сделать вывод, a 2 = a , a ≥ 0 - a , a < 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 2

5 2 = 5 = 5 и - 0 , 36 2 = - 0 , 36 = 0 , 36 .

Доказанное свойство поможет дать обоснование a 2 · m = a m , где a – действительное, а m –натуральное число. Действительно, свойство возведения степени позволяет заменить степень a 2 · m выражением (a m) 2 , тогда a 2 · m = (a m) 2 = a m .

Пример 3

3 8 = 3 4 = 3 4 и (- 8 , 3) 14 = - 8 , 3 7 = (8 , 3) 7 .

Свойства корня n-ой степени

Для начала необходимо рассмотреть основные свойства корней n -ой степени:

1. Свойство из произведения чисел a и b , которые положительны или равны нулю, можно выразить в качестве равенства a · b n = a n · b n , данное свойство справедливо для произведения k чисел a 1 , a 2 , … , a k как a 1 · a 2 · … · a k n = a 1 n · a 2 n · … · a k n ;
2. из дробного числа обладает свойством a b n = a n b n , где a – любое действительное число, которое положительно или равно нулю, а b – положительное действительное число;
3. При любом a и четных показателях n = 2 · m справедливо a 2 · m 2 · m = a , а при нечетных n = 2 · m − 1 выполняется равенство a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a .
4. Свойство извлечения из a m n = a n · m , где a – любое число, положительное или равное нулю, n и m – натуральные числа, это свойство также может быть представлено в виде. . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 . . . · n k ;
5. Для любого неотрицательного a и произвольных n и m , которые являются натуральными, также можно определить справедливое равенство a m n · m = a n ;
6. Свойство степени n из степени числа a , которое положительно или равно нулю, в натуральной степени m , определяемое равенством a m n = a n m ;
7. Свойство сравнения, которые обладают одинаковыми показателями: для любых положительных чисел a и b таких, что a < b , выполняется неравенство a n < b n ;
8. Свойство сравнения, которые обладают одинаковыми числами под корнем: если m и n – натуральные числа, что m > n , тогда при 0 < a < 1 справедливо неравенство a m > a n , а при a > 1 выполняется a m < a n .

Равенства, приведенные выше, являются справедливыми, если части до и после знака равно поменять местами. Они могут быть использованы и в таком виде. Это зачастую применяется во время упрощения или преобразовании выражений.

Доказательство приведенных выше свойств корня основывается на определении, свойствах степени и определении модуля числа. Данные свойства необходимо доказать. Но все по порядку.

1. Первым делом докажем свойства корня n -ой степени из произведения a · b n = a n · b n . Для a и b , которые являются положительными или равными нулю, значение a n · b n также положительно или равно нулю, так как является следствием умножения неотрицательных чисел. Свойство произведения в натуральной степени позволяет записать равенство a n · b n n = a n n · b n n . По определению корня n -ой степени a n n = a и b n n = b , следовательно, a n · b n n = a · b . Полученное равенство – именно то, что и требовалось доказать.

Аналогично доказывается это свойство для произведения k множителей: для неотрицательных чисел a 1 , a 2 , … , a n выполняется a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0 .

Приведем примеры использования свойства корня n -ой степени из произведения: 5 · 2 1 2 7 = 5 7 · 2 1 2 7 и 8 , 3 4 · 17 , (21) 4 · 3 4 · 5 7 4 = 8 , 3 · 17 , (21) · 3 · 5 7 4 .

1. Докажем свойство корня из частного a b n = a n b n . При a ≥ 0 и b > 0 выполняется условие a n b n ≥ 0 , а a n b n n = a n n b n n = a b .

Покажем примеры:

Пример 4

8 27 3 = 8 3 27 3 и 2 , 3 10: 2 3 10 = 2 , 3: 2 3 10 .

1. Для следующего шага необходимо доказать свойства n -ой степени из числа в степени n . Представим это в виде равенства a 2 · m 2 · m = a и a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a для любого действительного a и натурального m . При a ≥ 0 получаем a = a и a 2 · m = a 2 · m , что доказывает равенство a 2 · m 2 · m = a , а равенство a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a очевидно. При a < 0 получаем соответственно a = - a и a 2 · m = (- a) 2 · m = a 2 · m . Последняя трансформация числа справедлива согласно свойству степени. Именно это доказывает равенство a 2 · m 2 · m = a , а a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a будет справедливо, так как за нечетной степени рассматривается - c 2 · m - 1 = - c 2 · m - 1 для любого числа c , положительного или равного нулю.

Для того, чтобы закрепить полученную информацию, рассмотрим несколько примеров с использованием свойства:

Пример 5

7 4 4 = 7 = 7 , (- 5) 12 12 = - 5 = 5 , 0 8 8 = 0 = 0 , 6 3 3 = 6 и (- 3 , 39) 5 5 = - 3 , 39 .

1. Докажем следующее равенство a m n = a n · m . Для этого необходимо поменять числа до знака равно и после него местами a n · m = a m n . Это будет означать верная запись. Для a , которое является положительным или равно нулю, из вида a m n является числом положительным или равным нулю. Обратимся к свойству возведения степени в степень и определению. С их помощью можно преобразовать равенства в виде a m n n · m = a m n n m = a m m = a . Этим доказано рассматриваемое свойство корня из корня.

Аналогично доказываются и другие свойства. Действительно, . . . a n k n 2 n 1 n 1 · n 2 · . . . · n k = . . . a n k n 3 n 2 n 2 · n 3 · . . . · n k = . . . a n k n 4 n 3 n 3 · n 4 · . . . · n k = . . . = a n k n k = a .

Например, 7 3 5 = 7 5 · 3 и 0 , 0009 6 = 0 , 0009 2 · 2 · 6 = 0 , 0009 24 .

1. Докажем следующее свойство a m n · m = a n . Для этого необходимо показать, что a n – число, положительное или равное нулю. При возведении в степень n · m равно a m . Если число a является положительным или равным нулю, то n -ой степени из числа a является числом положительным или равным нулю При этом a n · m n = a n n m , что и требовалось доказать.

Для того, чтобы закрепить полученные знания, рассмотрим несколько примеров

1. Докажем следующее свойство – свойство корня из степени вида a m n = a n m . Очевидно, что при a ≥ 0 степень a n m является неотрицательным числом. Более того, ее n -ая степень равна a m , действительно, a n m n = a n m · n = a n n m = a m . Этим и доказано рассматриваемое свойство степени.

Например, 2 3 5 3 = 2 3 3 5 .

1. Необходимо доказательство, что для любых положительных чисел a и b выполнено условие a < b . Рассмотрим неравенство a n < b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию a < b . Следовательно, a n < b n при a < b .

Для примера приведем 12 4 < 15 2 3 4 .

1. Рассмотрим свойство корня n -ой степени. Необходимо для начала рассмотреть первую часть неравенства. При m > n и 0 < a < 1 справедливо a m > a n . Предположим, что a m ≤ a n . Свойства позволят упростить выражение до a n m · n ≤ a m m · n . Тогда, согласно свойствам степени с натуральным показателем, выполняется неравенство a n m · n m · n ≤ a m m · n m · n , то есть, a n ≤ a m . Полученное значение при m > n и 0 < a < 1 не соответствует свойствам, приведенным выше.

Таким же способом можно доказать, что при m > n и a > 1 справедливо условие a m < a n .

Для того, чтобы закрепить приведенные свойства, рассмотрим несколько конкретных примеров. Рассмотрим неравенства, используя конкретные числа.

Пример 6

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Определение
Степенная функция с показателем степени p - это функция f(x) = x p , значение которой в точке x равно значению показательной функции с основанием x в точке p .
Кроме этого, f(0) = 0 p = 0 при p > 0 .

Для натуральных значений показателя , степенная функция есть произведение n чисел, равных x :
.
Она определена для всех действительных .

Для положительных рациональных значений показателя , степенная функция есть произведение n корней степени m из числа x :
.
Для нечетных m , она определена для всех действительных x . Для четных m , степенная функция определена для неотрицательных .

Для отрицательных , степенная функция определяется по формуле:
.
Поэтому она не определена в точке .

Для иррациональных значений показателя p , степенная функция определяется по формуле:
,
где a - произвольное положительное число, не равное единице: .
При , она определена для .
При , степенная функция определена для .

Непрерывность . Степенная функция непрерывна на своей области определения.

Свойства и формулы степенной функции при x ≥ 0

Здесь мы рассмотрим свойства степенной функции при неотрицательных значениях аргумента x . Как указано выше, при некоторых значениях показателя p , степенная функция определена и для отрицательных значений x . В этом случае, ее свойства можно получить из свойств при , используя четность или нечетность. Эти случаи подробно рассмотрены и проиллюстрированы на странице « ».

Степенная функция, y = x p , с показателем p имеет следующие свойства:
(1.1) определена и непрерывна на множестве
при ,
при ;
(1.2) имеет множество значений
при ,
при ;
(1.3) строго возрастает при ,
строго убывает при ;
(1.4) при ;
при ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

Доказательство свойств приводится на странице «Степенная функция (доказательство непрерывности и свойств) »

Корни - определение, формулы, свойства

Определение
Корень из числа x степени n - это число , возведение которого в степень n дает x :
.
Здесь n = 2, 3, 4, ... - натуральное число, большее единицы.

Также можно сказать, что корень из числа x степени n - это корень (то есть решение) уравнения
.
Заметим, что функция является обратной к функции .

Квадратный корень из числа x - это корень степени 2: .

Кубический корень из числа x - это корень степени 3: .

Четная степень

Для четных степеней n = 2 m , корень определен при x ≥ 0 . Часто используется формула, справедливая как для положительных, так и для отрицательных x :
.
Для квадратного корня:
.

Здесь важен порядок, в котором выполняются операции - то есть сначала производится возведение в квадрат, в результате чего получается неотрицательное число, а затем из него извлекается корень (из неотрицательного числа можно извлекать квадратный корень). Если бы мы изменили порядок: , то при отрицательных x корень был бы не определен, а вместе с ним не определено и все выражение.

Нечетная степень

Для нечетных степеней , корень определен для всех x :
;
.

Свойства и формулы корней

Корень из x является степенной функцией:
.
При x ≥ 0 имеют место следующие формулы:
;
;
, ;
.

Эти формулы также могут быть применимы и при отрицательных значениях переменных . Нужно только следить за тем, чтобы подкоренное выражение четных степеней не было отрицательным.

Частные значения

Корень 0 равен 0: .
Корень 1 равен 1: .
Квадратный корень 0 равен 0: .
Квадратный корень 1 равен 1: .

Пример. Корень из корней

Рассмотрим пример квадратного корня из корней:
.
Преобразуем внутренний квадратный корень, применяя приведенные выше формулы:
.
Теперь преобразуем исходный корень:
.
Итак,
.

y = x p при различных значениях показателя p .

Здесь приводятся графики функции при неотрицательных значениях аргумента x . Графики степенной функции, определенной при отрицательных значениях x , приводятся на странице «Степенная функция, ее свойства и графики »

Обратная функция

Обратной для степенной функции с показателем p является степенная функция с показателем 1/p .

Если , то .

Производная степенной функции

Производная n-го порядка:
;

Вывод формул > > >

Интеграл от степенной функции

P ≠ - 1 ;
.

Разложение в степенной ряд

При - 1 < x < 1 имеет место следующее разложение:

Выражения через комплексные числа

Рассмотрим функцию комплексного переменного z :
f(z) = z t .
Выразим комплексную переменную z через модуль r и аргумент φ (r = |z| ):
z = r e i φ .
Комплексное число t представим в виде действительной и мнимой частей:
t = p + i q .
Имеем:

Далее учтем, что аргумент φ определен не однозначно:
,

Рассмотрим случай, когда q = 0 , то есть показатель степени - действительное число, t = p . Тогда
.

Если p - целое, то и kp - целое. Тогда, в силу периодичности тригонометрических функций:
.
То есть показательная функция при целом показателе степени, для заданного z , имеет только одно значение и поэтому является однозначной.

Если p - иррациональное, то произведения kp ни при каком k не дают целого числа. Поскольку k пробегает бесконечный ряд значений k = 0, ±1, ±2, ±3, ... , то функция z p имеет бесконечно много значений. Всякий раз, когда аргумент z получает приращение 2 π (один оборот), мы переходим на новую ветвь функции.

Если p - рациональное, то его можно представить в виде:
, где m, n - целые, не содержащие общих делителей. Тогда
.
Первые n величин, при k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1 , дают n различных значений kp :
.
Однако последующие величины дают значения, отличающиеся от предыдущих на целое число. Например, при k = k 0 + n имеем:
.
Тригонометрические функции, аргументы которых различаются на величины, кратные 2 π , имеют равные значения. Поэтому при дальнейшем увеличении k мы получаем те же значения z p , что и для k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1 .

Таким образом, показательная функция с рациональным показателем степени является многозначной и имеет n значений (ветвей). Всякий раз, когда аргумент z получает приращение 2 π (один оборот), мы переходим на новую ветвь функции. Через n таких оборотов мы возвращаемся на первую ветвь, с которой начинался отсчет.

В частности, корень степени n имеет n значений. В качестве примера рассмотрим корень n - й степени действительного положительного числа z = x . В этом случае φ 0 = 0 , z = r = |z| = x , .
.
Так, для квадратного корня, n = 2 ,
.
Для четных k, (- 1 ) k = 1 . Для нечетных k, (- 1 ) k = - 1 .
То есть квадратный корень имеет два значения: + и - .

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.