Система счисления
- символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков.
Система счисления:
· даёт представления множества чисел (целых и/или вещественных);
· даёт каждому числу уникальное представление (или, по крайней мере, стандартное представление);
· отражает алгебраическую и арифметическую структуру чисел.
В непозиционных системах счисления от положения цифры в записи числа не зависит величина, которую она обозначает. Примером непозиционной системы счисления является римская система, в которой в качестве цифр используются латинские буквы.
В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Количество используемых цифр называется основанием системы счисления. Место каждой цифры в числе называется позицией. Первая известная нам система, основанная на позиционном принципе – шестидесятeричная вавилонская. Цифры в ней были двух видов, одним из которых обозначались единицы, другим – десятки.
Однако наиболее употребительной оказалась индо-арабская десятичная система. Индийцы первыми использовали ноль для указания позиционной значимости величины в строке цифр. Эта система получила название десятичной, так как в ней десять цифр.
Различие между позиционой и непозиционной систем счисления легче всего понять на примере сравнения двух чисел. В позиционной системе счисления сравнение двух чисел происходит следующим образом: в рассматриваемых числах слева направо сравниваются цифры, стоящие в одинаковых позициях. Бóльшая цифра соответствует бóльшему значению числа. Например, для чисел 123 и 234, 1 меньше 2, поэтому число 234 больше, чем число 123. В непозиционной системе счисления это правило не действует. Примером этого может служить сравнение двух чисел IX и VI. Несмотря на то, что I меньше, чем V, число IX больше, чем число VI.
Позиционные системы счисления
Основание системы счисления, в которой записано число, обычно обозначается нижним индексом. Например, 5557 – число, записанное в семеричной системе счисления. Если число записано в десятичной системе, то основание, как правило, не указывается. Основание системы – это тоже число, и его мы будем указывать в обычной десятичной системе. Вообще, число x может быть представлено в системе с основанием p, как x = an·pn +an – 1·pn–1 + a1·p1 + a0·p0, где an...a0 – цифры в представлении данного числа. Так, например,
103510=1·103 + 0·102 + 3·101 + 5·100;
10102 = 1·23 + 0·22 + 1·21 + 0·20 = 10.
Наибольший интерес при работе на ЭВМ представляют системы счисления с основаниями 2, 8 и 16. Вообще говоря, этих систем счисления обычно хватает для полноценной работы как человека, так и вычислительной машины, однако иногда в силу различных обстоятельств все-таки приходится обращаться к другим системам счисления, например к троичной, семеричной или системе счисления по основанию 32.
Чтобы оперировать с числами, записанными в таких нетрадиционных системах, нужно иметь в виду, что принципиально они ничем не отличаются от привычной десятичной. Сложение, вычитание, умножение в них осуществляется по одной и той же схеме.
Почему же не используются другие системы счисления? В основном, потому, что в повседневной жизни люди привыкли пользоваться десятичной системой счисления, и не требуется никакая другая. В вычислительных же машинах используется двоичная система счисления, так как оперировать числами, записанными в двоичном виде, довольно просто.
Часто в информатике используют шестнадцатеричную систему, так как запись чисел в ней значительно короче записи чисел в двоичной системе. Может возникнуть вопрос: почему бы не использовать для записи очень больших чисел систему счисления, например по основанию 50? Для такой системы счисления необходимы 10 обычных цифр плюс 40 знаков, которые соответствовали бы числам от 10 до 49 и вряд ли кому-нибудь понравится работать с этими сорока знаками. Поэтому в реальной жизни системы счисления по основанию, большему 16, практически не используются.
Непозиционные системы счисления
Как только люди начали считать, у них появилась потребность в записи чисел. Находки археологов на стоянках первобытных людей свидетельствуют о том, что первоначально количество предметов отображали равным количеством каких-либо значков (бирок): зарубок, черточек, точек.
Позже, для облегчения счета, эти значки стали группировать по три или по пять. Такая система записи чисел называется единичной (унарной), так как любое число в ней образуется путем повторения одного знака, символизирующего единицу. Отголоски единичной системы счисления встречаются и сегодня. Так, чтобы узнать, на каком курсе учится курсант военного училища, нужно сосчитать, какое количество полосок нашито на его рукаве. Сами того не осознавая, единичной системой счисления пользуются малыши, показывая на пальцах свой возраст, а счетные палочки используется для обучения учеников 1-го класса счету. Единичная система - не самый удобный способ записи чисел. Записывать таким образом большие количества утомительно, да и сами записи при этом получаются очень длинными. С течением времени возникли иные, более удобные, системы счисления.
Древнеегипетская десятичная непозиционная система счисления. Примерно в третьем тысячелетии до нашей эры древние египтяне придумали свою числовую систему, в которой для обозначения ключевых чисел 1, 10, 100 и т.д. использовались специальные значки - иероглифы.
Все остальные числа составлялись из этих ключевых при помощи операции сложения. Система счисления Древнего Египта является десятичной, но непозиционной.
В непозиционных системах счисления количественный эквивалент каждой цифры не зависит от ее положения (места, позиции) в записи числа.
Например, чтобы изобразить 3252 рисовали три цветка лотоса (три тысячи), два свернутых пальмовых листа (две сотни), пять дуг (пять десятков) и два шеста (две единицы). Величина числа не зависела от того, в каком порядке располагались составляющие его знаки: их можно было записывать сверху вниз, справа налево или вперемежку.
Римская система счисления.
Примером непозиционной системы, которая сохранилась до наших дней, может служить система счисления, которая применялась более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме. В основе римской системы счисления лежали знаки I (один палец) для числа 1, V (раскрытая ладонь) для числа 5, X (две сложенные ладони) для 10, а для обозначения чисел 100, 500 и 1000 стали применять первые буквы соответствующих латинских слов (Сentum - сто, Demimille - половина тысячи, Мille - тысяча).
Чтобы записать число, римляне разлагали его на сумму тысяч, полутысяч, сотен, полусотен, десятков, пятков, единиц. Например, десятичное число 28 представляется следующим образом:
XXVIII=10+10+5+1+1+1 (три десятка, пяток, три единицы).
Для записи промежуточных чисел римляне использовали не только сложение, но и вычитание. При этом применялось следующее правило: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него.
Например, IX - обозначает 9, XI - обозначает 11.
Десятичное число 99 имеет следующее представление:
XCIХ = -10+100-1+10.
Римскими цифрами пользовались очень долго. Еще 200 лет назад в деловых бумагах числа должны были обозначаться римскими цифрами (считалось, что обычные арабские цифры легко подделать). Римская система счисления сегодня используется, в основном, для наименования знаменательных дат, томов, разделов и глав в книгах.
8.Перевод чисел из одной системы счисления в другую
В современной вычислительной технике информация чаще всего кодируется с помощью последовательности сигналов всего двух видов: включено или невключено, намагничено или ненамагничено, высокое или низкое напряжение и т.д. Принято обозначать одно состояние цифрой 0, а другое - 1. Такое представление информации в цифровом виде называют двоичным. Набор (последовательность) из нулей и единиц называют двоичным кодом.
Система счисления - совокупность приемов наименования и обозначения чисел. Системы счисления разделяются на две группы: позиционные и непозиционные. Позиционной называется система счисления, в которой значение цифры зависит от ее места (позиции) в ряду цифр, обозначающих число. Системы, не обладающие этим свойством, называются непозиционными (римская система счисления). Основанием позиционной системы счисления называется число цифр, которое используют при записи.
В ЭВМ часто используется восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления. В восьмеричной системе счисления числа записываются с помощью восьми цифр (0 1 2 3 4 5 6 7). Сама восьмерка записывается двумя цифрами: 10. Для записи чисел в шестнадцатеричной системе необходимо уже располагать шестнадцатью различными символами, используемыми как цифры:
10-я: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
16-я: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 А В С D E F
Пример 1. Переведем десятичное число 45 в двоичную систему счисления.
Правило: Чтобы перевести целое положительное десятичное число в систему счисления с другим основанием, нужно это число разделить на основание. Полученное частное снова разделить на основание и т.д. до тех пор, пока частное не окажется меньше основания. В результате записать в одну строку последнее частное и все остатки, начиная с последнего.
Пример 2. Переведем десятичное число 672 в восьмеричную систему счисления.
Пример 3. Переведем десятичное число 934 в шестнадцатеричную систему счисления.
Пример 4. Переведем в двоичную систему счисления положительную десятичную дробь 0.3.
Правило: Чтобы перевести положительную десятичную дробь в двоичную, нужно дробь умножить на 2. Целую часть произведения взять в качестве первой цифры после запятой в двоичной дроби, а дробную часть вновь умножить на 2. В качестве следующей цифры двоичной дроби взять целую часть этого произведения, а дробную часть произведения снова умножить на 2 и т.д. до получения после запятой заданного количества цифр.
Дробная часть 0,6 уже была на втором шаге вычислений. Поэтому вычисления будут повторяться. Следовательно в двоичной системе счисления число 0,3 представляется периодической дробью:
0,3 = 0,0(1001) 2 .
Пример 5. Переведем в двоичную систему счисления положительную десятичную дробь 0,625.
0,625 = 0,101 2 .
Замечание: Перевод десятичного числа в двоичную систему счисления проводится отдельно для его целой и дробной части.
Пример 6. Переведем в десятичную систему счисления двоичное число 1011,011.
Правило: Чтобы перевести число из двоичной системы в десятичную систему счисления, нужно двоичное число представить в виде суммы степеней двойки с коэффициентами-цифрами и найти эту сумму.
1011,0112 = 1 2 3 +0 2 2 +1 2 1 +1 2 0 +0 2 –1 +1 2 –2 +1 2 –3 =1 8+1 2+1+1 (1/2)2+1 (1/2)3 = 8+2+1+1/4+1/8 = 11,375
1011,011 2 = 11,375 10 .
Пример 7. Переведем в десятичную систему счисления восьмеричное число 511.
5118 = 5 8 2 +1 8 1 +1 8 0 =5 64+1 8+1 = 329
511 8 = 329 10 .
Пример 8. Переведем в десятичную систему счисления шестнадцатеричное число 1151.
1 16 3 +1 16 2 +5 16 1 +1 16 0 = 1 4096+1 256+5 16+1 = 4096+256+80+1 = 4433.
1151 16 = 4433 10 .
Пример 9. Переведем двоичное 1100001111010110 число в восьмеричную форму.
Правило: Для преобразования двоичного числа в восьмеричное необходимо двоичную последовательность разбить на группы по три цифры справа налево и каждую группу заменить соответствующей восьмеричной цифрой. Аналогично поступают и при переводе в шестнадцатеричную систему, только двоичную последовательность разбивают не на три, а на четыре цифры.
Переведем наше число в восьмеричную и шестнадцатеричную системы:
1 100 001 111 010 110 1100 0011 1101 0110
1 4 1 7 2 6 С 3 D 6
Аналогично осуществляется и обратное преобразование: для этого каждую цифру восьмеричного или шестнадцатеричного числа заменяют группой из трех или четырех цифр. Например:
A B 5 1 1 7 7 2 0 4
1010 1011 0101 0001 1 111 111 010 000 100
1. Позиционная и непозиционная системы счисления
Признаки непозиционной системы: - это система, в которой положение знака в записи числа не зависит от его позиции.
Примеры непозиционной системы счисления: римская.
Еще у людей каменного века возникла необходимость считать мамонтов или своих соплеменников. Естественным способом счета явилась простейшая модель – каждый мамонт обозначается камушком или палочкой, для подсчёта делались зарубки и вязались узелки.
В римской системе счисления были придуманы следующие цифры: I -соответствует 1, V - 5, X - 10, L - 50, С – 100, D - 500, М – 1000. Но система непозиционная и при увеличении числа надо придумывать новые цифры. Поэтому действия с римскими цифрами очень неудобны. (см. презентацию)
Непозиционные системы счисления были более или менее пригодны для выполнения сложения и вычитания, но совсем не удобны для умножения и деления. (На Руси до 18 века использовались непозиционные системы славянских цифр.)
Признаки позиционной системы: - это система, в которой положение знака в записи числа зависит от его позиции.
Идеи позиционного построения систем счисления неоднократно возникали у разных народов. Отголоски этих идей можно найти в разговорном языке. Вспомните хотя бы такие фразы. Как «сорок сороков», «чертова дюжина», «тьма народа» (в древней Руси словом «тьма» обозначали нынешнее число «миллион»). Но сегодня мы остановимся на письменной интерпретации этого понятия.
Впервые идея позиционной системы возникла в древнем Вавилоне: основание системы счисления 60 – пережитки этого до сих пор сохранились в отсчете времени и долей градусов. Вавилоняне вплотную подошли к открытию нуля, но, увы, этого последнего шага так и не сделали. Наибольшее же распространение получила десятичная система счисления, пришедшая из Индии в 595 году нашей эры. (см. презентацию)
Значение каждой цифры в позиционной системе счисления зависит от ее места (позиции) при написании числа. Положение (позиция) цифры в записи числа определяет ее…Вопрос: «Что определяет?» Ответ: разряд; если в числе отсутствует какой-либо разряд, то в записи числа на его место ставят цифру 0. Мы знаем, что 10 единиц любого разряда образуют новую единицу старшего разряда. Число 10 называется основанием десятичной системы счисления. С его помощью определяется «вес» единицы каждого разряда.
Позиционных систем много: двоичная, пятеричная, восьмеричная, шестнадцатеричная и т.д., а своё название они берут в зависимости от количества цифр, используемых для составления числа в данной системе.
Формирование понятия систем счисления с разными основаниями:
Вопрос: Сколько же цифр используется в 12-ричной системе счисления?
Ответ: Двенадцать.
Вопрос: А сколько цифр используется в 8-ричной системе счисления?
Ответ: Восемь.
Форма записи чисел в различных системах счисления. (см. презентацию)
Мы рассмотрели с вами формы записи чисел, которые позволяют нам произвести:
2. Перевод чисел из десятичной системы счисления в систему счисления с другим основанием выполняется методом деления целого десятичного числа на основание новой системы счисления. При этом необходимо запомнить, что количество цифр для записи числа в любой системе счисления не может превышать основания этой системе.
Примеры: Переведем 29 в 3-ичную систему счисления (демонстрация учителя), а 13 в 2-ичную систему счисления(коллективно). (см. презентацию)
3. Перевод целых чисел из системы счисления с любым основанием в десятичную систему счисления выполнить достаточно легко. Для этого необходимо записать число в развернутой форме и вычислить его значение. (см. презентацию)
1002 3 = 1*3 3 + 0*3 2 + 0*3 1 + 2*3 0 = 27 + 0+ 0+ 2 = 29 10 (демонстрация учителя)
1101 2 = 1*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13 10 (коллективно)
1011 2 = 1*2 3 + 0*2 2 + 1*2 1 + 1*2 0 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11 10 (коллективно)
120 3 = 1*3 2 + 2*3 1 + 0*3 0 = 9 + 6 + 0 = 15 10 (коллективно)
Учитель: Ребята! Мы с вами проделали огромную работу: выяснили, какие бывают системы счисления, разобрали правила перевода чисел из одних систем в другие. А сейчас мне хотелось бы зачитать вам строки стихотворения:
Десятичной ту систему мы привыкли называть.
Были палочки и счеты, калькулятор, Пифагор,
А теперь перед глазами – серебристый монитор.
Ну, а как она считает – предстоит нам разобрать.
Мы считаем в десятичной – два, двенадцать, сто один,
А компьютер лишь в двоичной – либо ноль, либо один».
Учитель: Ребята, я прочитала вам эти строки не просто так! А для чего? Как вы думаете? Ответ учащихся.
Итог: я хотела, что бы вы обратили внимание на то, что компьютер всю информацию преобразует в двоичный код. Изучение различных систем счисления даёт нам возможность разговаривать с компьютером на одном языке и понимать всю зашифрованную им информацию!
Выполнение творческих заданий на закрепление материала: (см. презентацию)
А сейчас самостоятельно предлагаю вам выполнить задания на закрепление материала.
1. Понаблюдаем за рождением цветка: сначала появился один листочек, затем второй … и вот распустился бутон. Постепенно подрастая, цветок показывает нам некоторое двоичное число. Если вы до конца проследите за ростом цветка, то узнаете, сколько дней ему понадобилось, чтобы вырасти.
Ответ: 1001001 2 или 145 10
Критерии оценки самостоятельной работы:
Выполнено:
· все задания правильно: «5» - отлично;
· 4 задания правильно: «4» - хорошо;
· 3 задания правильно: «3» - удовлетворительно;
· менее 3 заданий правильно: «На уроке были не внимательны!»
Задание повышенной сложности для сильных учащихся.
2. Используя таблицу кодировки букв и правила перевода чисел 2®10, расшифруйте приведенное слово:
111 2 110 2 1011 2 1010 2 100 2 1000 2 111 2 1100 2 1101 2
«В Древнем Египте цифры записывались с помощью этих символов»
Ответ: иероглифы.
IV. Мониторинг
(устный опрос обучающихся, в качестве ответа используются карточки: зелёная – «ДА», красная – «НЕТ».
1 вопрос: верно ли, что в древности использовали руку как инструмент для счёта?(Да)
2 вопрос: верно ли, что в компьютерах используется римская система счисления? (Нет)
3 вопрос: верно ли, что в Древнем Вавилоне цифры изображались с помощью иероглифов?(Нет)
4 вопрос: верно ли, что число 1001101 может быть записано в двоичной системе счисления?(Да)
5 вопрос: верно ли, что десятичную позиционную систему счисления изобрели в Древней Индии? (Да)
6 вопрос: верно ли, что в позиционной системе счисления расположения цифры не зависит от её положения (места) в числе? (Нет)
7 вопрос: верно ли, что клинописью пользовались в Древнем Египте? (Нет)
8 вопрос: верно ли, что мы не пользуемся в повседневной жизни шестнадцатеричной системой счисления? (Да)
9 вопрос: верно ли, что число 34263 может быть записано в пятеричной системе счисления? (Нет)
10 вопрос: верно ли, что Римская система счисления была непозиционной? (Да)
11 вопрос: верно ли, что число 443423 может быть записано в пятеричной системе счисления? (Да)
12 вопрос: верно ли, что название системы зависит от её основания? (Да)
Заключение
Практика использования современных информационных технологий на уроках информатики подтвердила актуальность и действенность выбранного метода изложения материала для обучения, что позволило сделать следующие выводы: современные средства обучения - презентация и интерактивная доска помогают учителю излагать учебный материал, формируют навыки наблюдения, обеспечивают прочное усвоение обучающимися знаний, повышают интерес к предмету. Современные средства обучения позволили сократить время изложения нового материала, ускорили процесс закрепления полученных навыков, правильно понять цель и ход проделанной работы, сократили время выполнения заданий.
Рассмотренная методика проведения по теме вводного урока может быть использована в других предметных областях. Считаю необходимым предложить разработку урока своим коллегам.
Психолого-педагогическую и методическую учебную и специальную литературу по теме исследования. 2) Рассмотрели особенности обучение школьников решению логических задач на уроках информатики. 3) Охарактеризовали особенности использования ИКТ на уроках информатики. 4) Разработали методики использования информационных технологий на уроке информатики с целью обучения школьников решению логических...
При общении с компьютером. 8. Неограниченное обучение: содержание, его интерпретации и приложения как угодно велики. Глава 2. Авторская педагогическая технология «активации познавательной деятельности учащихся на уроках информатики посредством электронного учебника» 2.1 Анализ психолого-педагогического содержания темы с точки зрения ее возможностей Изучив основные положения по...
Система счисления - это метод записи числа при помощи указанного набора специальных знаков (цифр).
Система счисления:
- даёт представление множества чисел (целых и/или вещественных);
- даёт каждому числу уникальное представление (либо, хотя бы, стандартное представление);
- отображает алгебраическую и арифметическую структуру числа.
Запись числа в некоторой системе счисления называется кодом числа .
Отдельная позиция в отображении числа называется разряд , значит, номер позиции - номер разряда .
Количество разрядов в записи числа называют разрядностью и совпадает с его длиной.
Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. Позиционные системы счисления делятся
на однородные и смешанные .
восьмеричная система счисления, шестнадцатеричная система счисления и другие системы счисления.
Перевод систем счисления. Числа можно перевести из одной системы счисления в другую.
Таблица соответствия цифр в различных системах счисления.
В непозиционных системах счисления величина, обозначающая цифру, не зависит от положения в числе. К тому же, система может накладывать ограничения на расстановку цифр, например , чтобы цифры располагались по убыванию.
Существуют такие непозиционные системы счисления:
Единичная система счисления,
Пятеричная система счисления (Счёт на пятки́),
Древнеегипетская система счисления,
Вавилонская система счисления,
Алфавитные системы счисления,
Еврейская система счисления,
Греческая система счисления,
Римская система счисления,
Система счисления майя,
Кипу инков,
Рассмотрим некоторые из, приведенных выше, систем счисления.
Единичная система счисления.
С первых попыток научиться считать у людей возникла необходимость записи чисел. Сначала это было легко — зарубка либо черточка на любой поверхности отвечала за один предмет. Таким образом возникла первая система счисления — единичная .
Число в единичной системе счисления представляет собой строку из черточек (палочек), количество которых равно значению данного числа. Таким образом, урожай из 100 фиников будет равен числу, состоящему из 100 черточек.
В более позднее время для упрощения восприятия больших чисел, эти знаки стали группировать по три или по пять. Далее равнообъёмные группы знаков начали заменять новым знаком — так возникли прообразы современных цифр.
У данной системы есть значительные недостатки — чем больше число, тем длиннее строка из палочек. Кроме того, существует большая вероятность в записи числа, пропустив или случайно дописав палочку.
Изначально в счете использовали пальцы рук, поэтому первые знаки появились для групп из 5 и 10 штук (единиц). Все это позволило создать более удобные системы записи чисел.
Древнеегипетская десятичная система счисления.
В Древнем Египте использовали свои символы (цифры) для обозначения чисел 1, 10, 102, 103, 104, 105, 106, 107 . Вот некоторые из них:
Почему мы ее называем десятичной? Как указано выше — люди начали группировать символы. В Египте — решили группировать по 10, оставив без изменений цифру “1”. Здесь, число 10 называется основанием десятичной системы счисления , а все символы — представление числа 10 в определенной степени.
Числа в древнеегипетской системе счисления записывали, в виде комбинаций таких символов, и все они повторялись не больше 9 раз. Результатом было сумма элементов числа. Этот метод получения значения свойственен каждой непозиционной системе счисления. Для примера посмотрите на запись числа 345:
Вавилонская шестидесятеричная система счисления.
В вавилонской системе счисления использовали только 2 символа: “прямой” клин — для единиц и “лежащий” — для десятков. Для определения значения числа нужно изображение числа разбить на разряды справа налево. Новый разряд начинается с появления прямого клина после лежачего. Для примера посмотрим на число 32:
Число 60 и все его степени так же обозначаются прямым клином, что и “1”. Поэтому вавилонская система счисления получила название шестидесятеричной системы счисления .
Все числа от 1 до 59 вавилоняне записывали в десятичной непозиционной системе, а значения больше 59 — в позиционной с основанием 60. Например, число 92:
Запись числа была не конкретной, так как не было цифры, которая обозначала бы нуль. Представление числа 92 могло обозначать не только 92=60+32 , но и, например, 3632=3600+32 . Для определения абсолютного значения числа они ввели новый символ для обозначения пропущенного шестидесятеричного разряда, что соответствует появлению цифры 0 в записи десятичного числа:
Значит, число 3632 записывают так:
Шестидесятеричная вавилонская система — первая система счисления, которая частично основана на позиционном принципе . Эту систему счисления используют и сейчас, например , для определения времени — час состоит из 60 минут, а минута из 60 секунд.
Римская система счисления.
Римская система счисления немного похожа с египетской. Здесь для обозначения чисел 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000 используют заглавные латинские буквы I, V, X, L, C, D и M соответственно. Число в римской системе счисления — это набор стоящих подряд цифр.
Способы определения значения числа:
- Значение числа соответствует сумме значений его цифр. Например , число 32 в римской системе счисления записывается так XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2=32
- Когда слева от большей цифры стоит меньшая, то значение это разность между большей и меньшей цифрами. Кроме того, левая цифра может быть меньше правой максимум на 1 порядок: т.е. перед L(50) и С(100) из «младших» может быть лишь X(10) , перед D(500) и M(1000) — только C(100) , перед V(5) — только I(1) ; число 444 в римской системе счисления выглядит так:
CDXLIV = (D-C)+(L-X)+(V-I) = 400+40+4=444.
- Значение равно сумме значений групп и цифр, не подходящих под 1 и 2 пункты.
Конструкция вычислительных машин и программирование на них тесно связаны с системами счисления. Система счисления – это совокупность приемов наименования и записи чисел. Условные знаки, применяемые при записи чисел, называются цифрами.
Все системы счисления делятся на две группы: позиционные и непозиционные. Непозиционной называется такая система, у которой количественное значение цифры зависит от ее начертания и не зависит от положения, т.е. каждый знак всегда изображает одно и то же число. Примером такой системы счисления может служить римская система счисления. В этой системе запись различных целых чисел производится с помощью следующих цифр:
I V X C D M и т.д.
1 5 10 50 100 1000
Для записи больших цифр в римской системе введенных знаков будет не хватать, и нужны новые. И сколько бы мы их не вводили, всегда можно придумать число, которое уже введенными знаками изобразить трудно. Римская система счисления не используется в вычислениях. Ее применяют обычно для обозначения месяцев, веков, глав и т. п. Большинство систем счисления относятся к позиционным . В них значение каждой цифры изменяется в зависимости от места (позиции), на котором она находится. Общепринятой системой счисления является десятичная позиционная система, берущая свое начало от счета на пальцах. Она была изобретена в Индии, затем заимствована арабами и уже через арабские страны пришла в Европу.
В различные исторические периоды человек использовал позиционные системы счисления, отличные от десятичной. Так, в Древнем Вавилоне (2000 лет до н. э.) применялась шестидесятичная система счисления. Эта система счисления применяется до сих пор при измерении углов, времени, а именно: остатки ее мы находим в делении часа на 60 минут, а минуты на 60 секунд, круга на 360 градусов, т.е. 6 раз по 60. Возникновение шестидесятичной системы счисления связано со слиянием в одно государство двух древних народов – сумерийцев и аккадян. Во вновь образованном государстве остались в ходу единицы веса, используемые ранее тем и другим народами, причем одна из этих единиц была приблизительно в 60 раз больше другой.
Кроме шестидесятичной системы употреблялась также и две-надцатиричная, следами которой является сохранившийся обычай считать некоторые предметы дюжинами.
Число 12 люди считают магическим с тех пор, когда они научились считать. На нем построены системы измерения и летосчисления, по нему ориентируются календари, оно входит во многие пословицы.
Каждый знает: год делится на 12 месяцев. Но, кроме того, существуют 12 апостолов, 12 знаков зодиака и 12 разбойников. Изучавшие математику называют 12 «поцелуйным числом третьего измерения». Если вокруг шара расположить еще 12 шаров того же диаметра, то каждый из них математически «поцелуется» с центральным, то есть коснется его в одной точке.
Почему число 12 играет такую роль в истории нашей цивилизации? Одна из наиболее важных причин – календарь, дающий возможность рационально разделить год на составные части. Это связано с полнолунием, которое мы наблюдаем на небе 12 раз в году. К тому же и круг с помощью циркуля и линейки можно разделить на 6 (а тем самым на 12) равных частей. Использование числа 12 в качестве базового значительно облегчало счет.
Даже античные жители Израиля, упрямо признававшие из 12 заповедей только 10, не могли полностью освободится от магии дюжины. У мудрого Иакова было 12 сыновей, которые стали основателями 12 колен Израиля. Иисус Навин в знак благодарности за удачную переправу через Иордан велел воздвигнуть там 12 каменных глыб. Купель Соломона окружали 12 бронзовых быков, а на груди у главного священника сверкало 12 драгоценных камней. В свою очередь, у Иисуса было 12 верных слуг. В Апокалипсисе от Иоанна у небесного Иерусалима 12 ворот. Он стоит на 12 камнях, на которых высечены имена 12 апостолов. Римские законы были записаны на 12 бронзовых дощечках. Со времен Древнего Рима повелось назначать 12 присяжных при судебных разбирательствах.
Древние китайцы, наблюдавшие за ночным небом, тоже делили год на 12 лун и создали соответствующую астрологию. Больше других европейцев к числу 12 оказались привержены англичане, с большим трудом перешедшие за десятичную систему, да и то не во всем. И только древние германцы, жившие в лесах и мало смотревшие в небо, в меньшей степени уверовали в магию дюжины. Хотя и в немецком языке само это слово появилось не случайно. И, наконец, 12 занимает почетное место в играх, например, в лото. Словом, счастливым числом его считают вполне заслуженно.
Встречались, например, в древнем Китае, пятеричная система счисления. У населявших американский континент народностей – ацтеков и майя была распространена двадцатеричная система счисления. Кроме названных систем, цивилизации известны и другие.
Чтобы различать, в какой системе счисления записано число, рядом с числом в виде индекса (в десятичной системе) указывается основание системы счисления. Например, 257 10 – записано в десятичной системе счисления, а 257 8 – в восьмеричной. Указание основания опускается в тех случаях, когда основание используемой системы не вызывает сомнений.
Принцип построения позиционных систем проще всего проиллюстрировать на примере десятичной системы счисления. В этой системе для записи любых чисел используется десять различных символов (цифр): 0,1,2,...,9. С помощью одной цифры можно изобразить самое большее число – 9. Число на единицу большее, чем 9, уже записывается двумя цифрами – 10. Затем младший разряд возрастет до максимальной цифры (число 19). После чего добавляется единица к следующему разряду, а в младшем разряде снова 0 (20) и т.д. Дойдя до числа 99, т.е., имея в обоих разрядах максимальную цифру, мы записываем 1 в новом, более старшем разряде, а в обоих младших – нули (100). Точно такую же процедуру можно использовать и для случая, когда количество используемых цифр меньше десяти.
Итак, введя для числа «десять» обозначение «10», мы не ввели никаких новых символов (цифр), а использовали уже имеющиеся. Однако введением этого обозначения сделан важный шаг в построении системы счисления, а именно: значение каждой из цифр поставлено в зависимость от того места, где она стоит в изображении числа.
Пример . В записи числа 141,14 единица, стоящая слева на первом месте, означает количество сотен; единица, стоящая перед запятой, – количество единиц; а единица, стоящая после запятой, – количество десятых долей, содержащихся в числе. Последовательность цифр 141,14 представляет собой сокращенную запись выражения:
141,14 = 1·100+4·10+1+1:10+4:100.
Количество различных цифр, используемых в позиционной системе счисления для изображения произвольных чисел, называется основанием системы счисления . Основанием десятичной системы счисления является число десять. То есть в десятичной системе для записи числа употребляются десять цифр: 0,1,......, 9; а в пятеричной системе счисления достаточно пяти цифр: 0,1,2,3,4. Основание пятеричной системы счисления число пять – изобразится в ней как «10», поскольку оно является единицей следующего (второго) разряда. Так будет в любой системе счисления: основание системы счисления в любой системе записывается как 10. Позиции, на которых в последовательности стоят цифры, перенумерованы. Эти позиции называются разрядами числа . Каждой цифре рассмотренной последовательности приписано определенное значение. Цифра, стоящая в некотором разряде, имеет значение большее того, которое она бы имела в разряде с номером, меньшим на единицу, во столько раз, каково основание системы счисления. Цифра, стоящая в нулевом разряде, имеет своим значением соответствующее число из основания.
Умножение числа на основание системы счисления сводится к переносу запятой на один разряд вправо, а деление на основание системы – к переносу запятой на один разряд влево.
Последовательность цифр обозначает число, равное сумме значений ее цифр. В соответствии со сказанным, например, последовательность десятичных цифр 257 можно представить так:
257 = 200+50+7.
Любое число в позиционной, в том числе и в десятичной системе, записывается в виде последовательности цифр, разделенных запятой на целую и дробную части. Такая запись числа есть сокращенная запись. Возьмем, например, число А = 627,3. В развернутом виде оно запишется так:
А 10 = 6·102+2·101+7·100+3·10-1.
Аналогичным образом представится десятичная запись произвольного числа в десятичной системе:
а n ·10n+а n -1 ·10n-1+...+а 0 ·100+а -1 ·10-1+...,
где а – одна из цифр 0,1,2,.....,9.
В двоичной системе счисления любое положительное число можно записать аналогично:
А 2 =а n ·2n+...+а 0 ·20+а -1 ·2-1+...+а - m ·2-m,
где а – принимает значения 0 или 1.
Запись произвольного числа А в позиционной системе c данным основанием p будет выглядеть так:
А p =а n ·pn+...+a 0 ·p0+a -1 ·p-1+...+а -m ·p-m.
Как и в десятичной системе, число А p можно записать в сокращенном виде:
А p =a n a n-1 ...a 1 а 0 ,a -1 ...a -m .
Эта последовательность цифр и будет являться изображением числа А в p -ичной системе счисления.
Если А p – число, записанное в p -ичной системе счисления, тогда под преобразованием этого числа в q -ичную систему понимают запись числа А последовательностью цифр q -ичной системы.
Подводя итоги, можно сказать, что позиционная система счисления – это способ представления чисел, при котором вклад, вносимый каждой цифрой зависит от ее численного значения и разряда, который она занимает в числе. Обычно этот вклад определяется как произведение значения цифры на некоторое число, определяемое разрядом, – вес разряда. Позиционная система счисления с заданным основанием – это позиционная система, в которой веса являются степенями некоторого числа – основания.
В первых ЭВМ вначале применялась десятичная система счисления (например, в ЭНИАК). Впоследствии стали применять двоичную систему счисления.
Конец работы -
Эта тема принадлежит разделу:
Математика в компьютере
А и бородина.. математика в компьютере учебное пособие..
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
